问题: 证明三角不等式
在△ABC中，求证
√[tan(B/2)*tan(C/2)+8]+√[tan(C/2)*tan(A/2)+8]+√[tan(A/2)*tan(B/2)+8]>3+4√2
解答:
在△ABC中，求证
√[tan(B/2)*tan(C/2)+8]+√[tan(C/2)*tan(A/2)+8]+√[tan(A/2)*tan(B/2)+8]>3+4√2
简证 设x=tan(B/2)*tan(C/2),y=tan(C/2)*tan(A/2),z=tan(A/2)*tan(B/2).则所证不等式等价于,x+y+z=1
√[x+8]+√[y+8]+√[z+8]>3+4√2
因为x,y,z是全对称的，不失一般性,设x=max(x,y,z).则
√(x+8)+3>√(y+8)+2√2，√(x+8)+3>√(z+8)+2√2
记T=√(x+8)+√(y+8)+√(z+8)-3-4√2
=√(x+8)-3+√(y+8)-2√2+√(z+8)-2√2
=(x-1)/[√(x+8)+3]+y/[√(y+8)+2√2]+z/[√(z+8)+2√2]
=-(y+z)/[√(x+8)+3]+y/[√(y+8)+2√2]+z/[√(z+8)+2√2]>0.
故T>0,所以所证不等式成立。
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