问题: 一个不等式
己知x,y,z为非负实数,且x+y+z=4.求证
√(3x+4)+√(3y+4)+√(3z+4)>8
解答:
己知x,y,z为非负实数,且x+y+z=4.求证
√(3x+4)+√(3y+4)+√(3z+4)>8
可取到等号的,x=4,y=z=0时取等号.
所以改为非严格不等式
√(3x+4)+√(3y+4)+√(3z+4)≥8
简证 因为x,y,z是全对称的，不失一般性,设x=max(x,y,z).则
√(3x+4)+4>√(3y+4)+2，√(3x+4)+4>√(3z+4)+2
记T=√(3x+4)+√(3y+4)+√(3z+4)-8
=√(3x+4)-4+√(3y+4)-2+√(3z+4)-2
=3(x-4)/[√(3x+4)+4]+3y/[√(3y+4)+2]+3z/[√(3z+4)+2]
=-3(y+z)/[√(3x+4)+4]+3y/[√(3y+4)+2]+3z/[√(3z+4)+2]≥0.
故T≥0,所以所证不等式成立。
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