问题: 求双曲线三角形面积证明
双曲线上任意一点P与两焦点所成三角形的面积为
s=(b^2)/tan(θ/2)
θ是角F1PF2
解答:
双曲线上任意一点P与两焦点所成三角形的面积为
s=(b^2)/tan(u/2) u是角F1PF2
解：
S=（1/2）×|PF1|×|PF2|×sinu
在三角形F1PF2中：
||PF1|-|PF2||=2a
PF1＾+PF2＾-2|PF1|×|PF2|=4a＾
PF1＾+PF2＾-2|PF1|×|PF2|cosu=4c＾
两式相减：
2|PF1|×|PF2|×（1-cosu）=4b＾
|PF1||PF2|=2b＾/（1-cosu）
∴
S=（1/2）×|PF1|×|PF2|×cosu
=（b＾）sinu/（1-cosu）
=[(b＾）2sin(u/2)cos(u/2)]/{1-(1-2[sin(u/2)]＾}
=(t＾）cot（u/2）
sinu/（1-cosu）=[（1-t＾）/（1+t＾）]/{1-[2t/（1+t＾）]}
=（1-t＾）/（t＾+2t+1）
=（1-t）/（1+t）
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