试证 四面体为等面四面体的充要条件是四面体的六条棱长的平方和等于其外切球半径平方的16倍。

试证 四面体为等面四面体的充要条件是四面体的六条棱长的平方和等于其外切球半径平方的16倍。

笔误吧，外切球不对，应该是外接球。

以下证明要用到如下定理:
等面四面体的重心与外心重合.

简证 取四面体A1A2A3A4的外接球球心为空间直角坐标系的原点O,四面体A1A2A3A4的外接球的半径为R，设A1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2),A3(x3,y3,z3),A4(x4,y4,z4).
则四面体A1A2A3A4的重心G的坐标为
G[(x1+x2+x3+x4)/4,(y1+y2+y3+y4)/4,(z1+z2+z3+z4)/4].
由距离公式可求得:
(A1A2)^2+(A1A3)^2+(A1A4)^2+(A2A3)^2+(A2A4)^2+(A3A4)^2
=∑(x1-x2)^2+∑(y1-y2)^2+∑(z1-z2)^2;
16GO^2=(x1+x2+x3+x4)^2+(y1+y2+y3+y4)^2+(z1+z2+z3+z4)^2;
R^2=(x1)^2+(y1)^2+(z1)^2=(x2)^2+(y2)^2+(z2)^2=(x3)^2+(y3)^2+(z3)^2=(x4)^2+(y4)^2+(z4)^2.
易验证得恒等式:[其中∑(A1A2)^2表示六条棱平方和]
16OG^2+∑(A1A2)^2=16R^2
<==> 16OG^2=16R^2-∑(A1A2)^2
因为 OG^2≥0,所以 16R^2≥∑(A1A2)^2.
显然其中的等号当且仅当OG=0，即O与G重合时成立。
运用定理:四面体为等面四面体的的充要条件是四面体的重心与外心重合。即知命题成立。