问题: 不等式问题
设M点△ABC内部任一点，△表示△ABC的面积，BC=a,CA=b,AB=c。
求证 a*MA+b*MC+c*MB≥4△
解答:
设M点△ABC内部任一点，△表示△ABC的面积，BC=a,CA=b,AB=c。
求证 a*MA+b*MC+c*MB≥4△.
简证如下 根据三角形费马点加权不等式得:
当A≤90°时,有
a*MA+b*MC+c*MB≥[a^2*(b^2+c^2-a^2)+c^2(c^2+a^2-b^2)+b^2*(a^2+b^2-c^2)]/2+8S^2
当A≥90°时有
a*MA+b*MC+c*MB≥b^2+c^2
由中线公式和海仑公式，易验证得
[a^2*(b^2+c^2-a^2)+c^2(c^2+a^2-b^2)+b^2*(a^2+b^2-c^2)]/2+8△^2
=a^2*(2b^2+2c^2-a^2)=[2a*ma]^2
对于任意三角形我们总有
b^2+c^2≥2a*ma
<==> (b^2+c^2-a^2)^2≥0
易证2a*ma≥4△.
故命题得证。
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