问题: 函数的极值问题1(京)2008-12-20
函数的极值问题1
解答:
(1)f＇（x）=3x^2+2ax+b,设f＇(x)=0的两根为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-2a/3,x1x2=b/3,∵f＇（x）=3x^2+2ax+b是开口向上的抛物线,易知f(x1)=f(α),f(x2)=f(β),x1^3+x2^3=(x1+x2)[(x1+x2)^2-3x1x2]=-2a[(4a^2/9)-b]/3,x1^2+x2^2=(4a^2-6b)/9,∴f(α)+f(β)=x1^3+x2^3+a(x1^2+x2^2)+b(x1+x2)+2c=(4a^3-18ab+54c)/27;
(2)设AB中点坐标为(x0,y0),x0=(x1+x2)/2=-a/3,y0=(F(α)+F(β))/2
=(2a^3-9ab+27c)/27=(-a/3)^3+a(-a/3)^2+b(-a/3)+c=f(x0),即(x0,y0)在y=f(x)上.
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