问题: 证明不等式
设h1,h2,h3是三角形A1A2A3的三条高,r为三角形A1A2A3的内切圆半径.求证h1*h2*h3=27r^3。
解答:
设h1,h2,h3是三角形A1A2A3的三条高,r为三角形A1A2A3的内切圆半径.求证h1*h2*h3>=27r^3。
证 ∵1/h1+1/h2+1/h3=1/r
∴h1*h2*h3>=27r^3
<==> h1*h2*h3≥27{1/[1/h1+1/h2+1/h3]}^3
<==> (h1*h2+h2*h3+h3*h1)^3≥27(h1*h2*h3)^2
上式是算术--几何平均不等式,显然成立.
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