问题: 函数题
设a为实数,函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值。
解答:
设a为实数,函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值。
i)当x≥a时
f(x)=x^2+x-a+1=[x^2+x+(1/4)]-a+1-(1/4)
=[x+(1/2)]^2+(3/4)-a
它的对称轴为x=-1/2
那么,当a≤-1/2时,因为x≥a,那么函数f(x)可以取得最小值f(-1/2)=(3/4)-a;
当a>-1/2时,因为x≥a,因为开口向上,那么函数f(x)的最小值为f(a)=a^2+1;
ii)
当x≤a时,f(x)=x^2-x+a+1=[x^2-x+(1/4)]+a+1-(1/4)
=[x-(1/2)]^2+(3/4)+a
它的对称轴为x=1/2
那么,当a≥1/2时,因为x≤a,那么函数f(x)可以取得最小值f(1/2)=(3/4)+a;
当a<1/2时,因为x≤a,因为开口向上,那么函数f(x)的最小值为f(a)=a^2+1;
综上:
当a≤-1/2时,函数f(x)有最小值(3/4)-a;
当-1/2<a<1/2时,函数f(x)有最小值a^2+1;
当a≥1/2时,函数f(x)有最小值(3/4)+a。
(至于等号何时取都可以,因为在a=-1/2或者a=1/2时,两个端点值都是相等的。也就是说,最后得到关于f(x)最小值的函数表达式是一个连续函数。)
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