设△ABC的中线为AD,BE,CF，求证
CA*AB+AB*BC+BC*CA>(AD+BE+CF)^2

设△ABC的中线为AD,BE,CF，求证
CA*AB+AB*BC+BC*CA>(AD+BE+CF)^2

CA*AB+AB*BC+BC*CA>(AD+BE+CF)^2，不可能成立,
反向好象成立。改为
4(CA*AB+AB*BC+BC*CA)>(AD+BE+CF)^2成立。

简证 设BC=a,CA=b,AB=c,AD=ma,BE=mb,CF=mc
据三角形中线公式:
16(mb*mc)^2=(2c^2+2a^2-b^2)*(2a^2+2b^2-c^2)
=4a^4-2b^4-2c^4+5(bc)^2+2(ca)^2+2(ab)^2
=(2a^2+bc)^2-2(a+b+c)*(b+c-a)(b-c)^2
≤(2a^2+bc)^2
故 4mb*mc≤2a^2+bc.
同理可得 4mc*ma≤2b^2+ca, 4ma*mb≤2c^2+ab
所以 4(ma+mb+mc)^2=4∑(ma)^2+8∑mb*mc
≤3∑a^2+2(2∑a^2+∑bc)=7∑a^2+2∑bc
故 16∑bc-7∑a^2-2∑bc=7(2∑bc-∑a^2)
=7[a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)]>0
因此得 4(CA*AB+AB*BC+BC*CA)>(AD+BE+CF)^2