设A.B为ｎ阶矩阵r(A)+r(B)<n 证ＡＢ有公共特征向量
解答:
记:KerA={X,X为n维向量且AX=0}
==>r(A)+Dim(KerA)=n
==>
r(A)+Dim(KerA)+r(B)+Dim(KerB)=2n
==>
Dim(KerA)+Dim(KerB)>n
根据维数定理:
n<Dim(KerA)+Dim(KerB)=Dim(KerA+KerB)+Dim(KerA∩KerB)≤
≤n+Dim(KerA∩KerB)
==>
Dim(KerA∩KerB)>0
==>
有非零向量X∈KerA∩KerB,则AX=BX=0
==>
ＡＢ有公共特征向量X.
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