问题: 求助不等式证明
设△ABC的中线为AD,BE,CF，求证
AD/BC+BE/CA+CF/AB≥3(AD+BE+CF)/(BC+CA+AB)
解答:
设△ABC的中线为AD,BE,CF，求证
AD/BC+BE/CA+CF/AB≥3(AD+BE+CF)/(BC+CA+AB)
证明 上式等价于
(CA*AB*AD+AB*BC*BE+BC*CA*CF)*(BC+CA+AB)≥3AD*BE*CF*(AD+BE+CF)
<==> CA*AB*AD*(CA+AB-2BC)+AB*BC*BE*(AB+BC-2CA)+BC*CA*CF*(BC+CA-AB)≥0
<==> BC*(CA-AB)*(CA*CF-AB*BE)+CA*(BC-AB)*(BC*CF-AB*AD)+AB*(BC-CA)*(BC*BE-CA*AD)≥0
因为上式是全对称式,所以设BC≥CA≥AB,则AD≤BE≤CF.
故 CA-AB≥0,CA*CF-AB*BE≥0,BC-AB≥0,BC*CF-AB*AD≥0,BC-CA≥0,BC*BE-CA*AD≥0
因此所证不等式成立。
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