问题: 几何证明
题目 设半径为R和r的两圆相交，若公共弦恰与连心线长度相等。
求证:√2-1≤R/r≤√2+1.
解答:
证明 设公共弦长为2k，R/r=x.依题意得
√(R^2-k^2)±√(r^2-k^2)=2k (1)
(1)式两边平方得:
±2√[(R^2-k^2)*(r^2-k^2)]=6k^2-R^2-r^2 (2)
(2)式再两边平方化简得:
32k^4-8(R^2+r^2)k^2+(R^2-r^2)^2=0 (3)
因为k是实数，则△≥0, 即
(R^2+r^2)^2-2(R^2-r^2)^2≥0
<==> R^4-6R^2*r^2+r^4≤0 (4)
<==> x^4-6x^2+1≤0 (5)
解得 3-2√2≤x^2≤3+2√2,
<==> (√2-1)^2≤x^2≤(√2+1)^2.
所以 √2-1≤R/r≤√2+1. 证毕。
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
