问题: 三角形中线
设△ABC的中线为AD,BE,CF，求证
BC/(CA+AB)+AD/(BE+CF)≥1
解答:
设△ABC的中线为AD,BE,CF，求证
BC/(CA+AB)+AD/(BE+CF)≥1
证 证BC=a,CA=b,AB=c;AD=ma,BE=mb,CF=mc.
由己知不等式:
4ma*mb≤2c^2+ab;
4ma*mc≤2b^2+ca.
得
ma/(mb+mc)=(ma)^2/(ma*mb+ma*mc)
≥(2b^2+2c^2-a^2)/(2b^2+ca+2c^2+ab)
故只需证
(2b^2+2c^2-a^2)/(2b^2+ca+2c^2+ab)≥(b+c-a)/(b+c)
<==> (b+c)*(2b^2+2c^2-a^2)≥(2b^2+ca+2c^2+ab)*(b+c-a)
<==> a(b-c)^2≥0.
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