证明 在平面上不存在这样的四点A,B,C,D,使得△ABC,△BCD,△CDA,△DAB都是锐角三角形.

证明 在平面上不存在这样的四点A,B,C,D,使得△ABC,△BCD,△CDA,△DAB都是锐角三角形.

四个点若可组成四个三角形，则它们立中任何三个点不共点，因此这四点的位置关系只可有两种:
一为任何一点都不在其他三点所连成的三角形中或边上,则ABCD为凸四边形；一为有一点在其他三点所连成的三角形内，则ABCD为凹四边形.
下分凸，凹四边形两种情况
在凸四边形ABCD中，因为△ABC,△BCD,△CDA,△DAB都是锐角三角形，那么∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是锐角。则
∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB<360°,
与四边形四内角之和为360°相矛盾.
在凹四边形ABCD中，不妨设D在△ABC内.
因为△BCD,△CDA,△DAB都是锐角三角形，那么∠BCD,∠CDA,∠DAB都是锐角。则
∠BCD+∠CDA+∠DAB<270°,
与周角之和为360°相矛盾.
综上，这样的四点不存在。