问题: 求助
设函数f(x)=x+a/x+b(a>b>0),根据函数的单调性的定义,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性?
解答:
设函数f(x)=x+a/x+b(a>b>0),根据函数的单调性的定义,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性?
函数f(x)=(x+a)/(x+b)的定义域为x≠b
f(x)=[(x+b)+(a-b)]/(x+b)=1+(a-b)/(x+b)
所以：令在定义域内有x1>x2
则：f(x1)-f(x2)=[1+(a-b)/(x1+b)]-[1+(a-b)/(x2+b)]
=(a-b)[1/(x1+b)-1/(x2+b)]
因为a>b>0
令g(x)=1/(x+b)，它为反函数，在每一个单调区间上均递减
所以：f(x1)-f(x2)的符号由1/[(x1+b)(x2+b)]，即g(x)确定
所以，x>-b或者x<-b时，函数f(x)均递减
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