问题: 几何难题
在边长为1的正方形中(包括边界)有3个点，证明至少有两个点的距离不超过√6-√2.
解答:
在边长为1的正方形中(包括边界)有3个点，证明至少有两个点的距离不超过√6-√2.
证 在边长为1的正方形ABCD中,以点A为圆心,√6-√2为半径作弧.
因为√6-√2>1，所以圆弧分别交BC,CD于E,G.
作矩形ABEF,F点必在AD上，作矩形ADGH,H点必在AB上.
设EF与GH交于P.
显然四边形PECG是正方形,
走AE,AG,EG.则AE=AG.
BE=√(AE^2-AB^2)=√[(√6-√2)^2-1]=√(7-4√3)=2-√3;
EC=BC-BE=√3-1.
EG=√2*EC=√6-√2=AE=AG.
由此可知
矩形ABEF，矩形ADGH和正方形PECG的对角线均为√6-√2.
再作矩形BCJI,J在CD上,I在AB上,矩形CDLK,L在AD上,在BC上.
它们的对角线均为√6-√2.
IJ与LK的交点为R,JI与EF交于S,LK与GH交于Q.
根据以上证明,可得
四边形AIRL,DJSF,HBKQ都是对角线长为√5-√2的正方形.
设M1,M2,M3为正方形ABCD中(包括边界)的三点.
以下证明简单.无法发上图.
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