问题: 竞赛题
竞赛题
己知a,b,c是正数,且a^3+b^3+c^3=3.
求证 a^4/(1+a)+b^4/(1+b)+c^4/(1+c)≥3/2
解答:
己知a,b,c是正数,且a^3+b^3+c^3=3.
求证 a^4/(1+a)+b^4/(1+b)+c^4/(1+c)≥3/2
证明 设f(x)=x^2/(1+x)-3(x-1)/4-1/2,x∈(0,+∞)
f(x)=(x-1)^2/[4(1+x)]≥0.
故x∈(0,1)时，必有
x^2/(1+x)≥3(x-1)/4+1/2=3x/4-1/4
<==> x^4/(1+x)≥3x^3/4-x^2/4.
所以得
a^4/(1+a)+b^4/(1+b)+c^4/(1+c)≥3(a^3+b^3+c^3)/4-(a^2+b^2+c^2)/4
由幂平均不等式得:
[(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)≥[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
故3≥a^2+b^2+c^2.因此
a^4/(1+a)+b^4/(1+b)+c^4/(1+c)≥9/4-(a^2+b^2+c^2)/4=3/2.
证毕。
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