问题: 初中几何
已知G是△ABC的重心。求证
BC^2+CA^2+AB^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)
解答:
已知G是△ABC的重心。求证
BC^2+CA^2+AB^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)
证 设D,E,F分别△ABC的边BC,CA,AB上的中点，AD,BE,CF交于重心G,
且AG=2AD/3,BG=2BE/3,CG=2CF/3.
令BC=a,CA=b,AB=c.
根据三角形中线公式:4AD^2=2b^2+2c^2-a^2,
3(AG^2+BG^2+CG^2)=4(AD^2+BE^2+CF^2)/3
=(2b^2+2c^2-a^2+2c^2+2a^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2)/3
=a^2+b^2+c^2.证毕。
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