问题: 初中几何
设O,Q是△ABC内部两点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
求证 QA+QB+QC≥OA+OB+OC
解答:
设O,Q是△ABC内部两点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
求证 QA+QB+QC≥OA+OB+OC
首先要加一个条件:△ABC最大角不超过120°.不然O点落在形外.
简证如下 以AC为边向外作正三角形ACD.
∵∠AOC=120°,∴A,O,C,D四点共圆。
又∠AOD=∠ACD=60°,∴∠AOD+∠AOB=180°.
所以D,O,B共线.
据托勒密定理求得:DO=AO+CO.
故OA+OB+OC=BD.
下面来证明QA+QB+QC≥BD
以CQ为边与A点同侧作正三角形COE.走DE.
易证△AQC≌△DEC,故AQ=DE.
所以QA+QB+QC=DE+BQ+QD=BQ+QD+DE≥BD.
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