已知函数f(x)满足(1-x²)f(x)=x-x²[f(x-1)+1],且f(1)=1/2.
(1)求f(n)的表达式,n=1,2,3,…;
(2)函数g(x)=f(n)/n*[x^(n+1)],函数g(x)的导数为φ(x),设an=φ(2),求数列{an}的前n项和Sn.

(1)
(1-n^2)f(n)=n-n^2[f(n-1)+1]
(1+n)(1-n)f(n)=n[1-n-nf(n-1)]
当n>=2,两边同除以(1-n)n
(1+n)/n*f(n)=1+n/(n-1)*f(n-1)
令a(n)=(1+n)/n*f(n),(n>=2)则:
a(n)=1+a(n-1)
a(n)-a(n-1)=1
所以{a(n)}是首项a(1)=(1+1)/1*f(1)=1,公差为1的等比数列
a(n)=n
(1+n)/n*f(n)=n
f(n)=n^2/(n+1)
经验证,当n=1时也适用
∴f(n)=n^2/(n+1),n=1,2,3,....

(2)
g(x)=n/(n+1)*x^(n+1)
φ(x)=nx^n
an=φ(2)=n*2^n
Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n
2Sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
Sn-2Sn=2+2^2+2^3+...+2^n-n*2^(n+1)=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
-Sn=(1-n)2^(n+1)-2
Sn=(n-1)2^(n+1)+2