问题: 求定值
经过椭圆2x^2+y^2=4上一点A(1,根号2).作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆分别交于点B,C.
(1)求证直线BC的斜率为定值,并求这个定值;
(2)求三角形ABC面积的最大值.
解答:
经过椭圆2x^2+y^2=4上一点A(1,根号2).作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆分别交于点B,C.
(1)求证直线BC的斜率为定值,并求这个定值;
(2)求三角形ABC面积的最大值.
解:
椭圆(x^/2)+(y^/4)=1
a^=4 b^=2 c^=2
椭圆是焦点在Y轴上的椭圆。
a,b,c>0 a=2 b=√2 c=√2
A(1,√2) B(x2,y2)、C(x1,y1)
Lac: y-√2=k(x-1) ...(1)
Lab: y-√2=-k(x-1) ..(2)
∵AC在椭圆上
∴2x^+y^=4
2×(1)^+(√2)^=4
两式相减: 2(1+x1)+[(y1-√2)/(x1-1)]×(y1+√2)=0
y1-√2)/(x1-1)]=k
(x1+1)+k(y1+√2)=0
上式与(1)联立:
x1=(k^-2k√2-2)/(2+k^)
y1=[2√2-4k-(√2)k^]/(2+k^)
同理:
∵AC在椭圆上
∴(x2+1)-k(y2+√2)=0
上式与(2)联立:
x2=(k^+2k√2-2)/(2+k^)
y2=[2√2+4k-(√2)k^]/(2+k^)
Kbc=(y2-y1)/(x2-x1)=8k/4k√2=√2
(2):
Lbc: y=x√2+b
联立: y=x√2+b 2x^+y^=4
4x^+2xb√2+b^-4=0
x1+x2=-(b√2)/2
x1x2=(b^-4)/4
|BC|^=[1+(√2)^][(x1+x2)^-4x1x2]
=3[4-(b^/2)]
点A(1,√2)到直线Lbc: x√2-t+b=0距离d
d=|√2-√2+b|/√3=|b|/√3
Sabc=(1/2)×d×|BC|
=(1/2)×√[-(b^4/2)+4b^]
当b^=4时,Sabc取得最大值
[Sabc]max=(1/2)×2√2=√2
计算太麻烦了!!!!!!
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