问题: 几何题
己知P为正方形ABCD内的一点,满足PA^2+PC^2=2PB^2。
求证 A,P,C三点共线。
解答:
证明 以B为旋转中心，将ΔBAP顺时针旋转90°，
此时A→C， P→Q。
连BQ，CQ，PQ，则AP=CQ，BP=BQ，则ΔPBQ为等腰直角三角形，
即得:
PQ^2=2PB^2=2BQ^2,∠BPQ=∠BQP=45°
而题设条件是:PA^2+PC^2=2PB^2
所以 PQ^2=PA^2+PC^2=CQ^2+PC^2，
故∠PCQ=90°.
因为∠PBQ=∠PCQ=90°，
所以P,B,Q,C四点共圆，
故得:∠BCP=∠BQP=45°.
所以P点在对角线AC上,因此A,P,C三点共线。
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