△ABC的边BC与内切圆切于D,求证该内切圆的圆心I在线段BC与AD的中点连线上。

△ABC的边BC与内切圆切于D,求证该内切圆的圆心I在线段BC与AD的中点连线上。

证明 设△ABC的内切圆分别切边BC,CA,AB于D,E,F.∠BAC所对的旁切圆切边BC于L,分别切AB,AC的延长线于M,N.则
2BD=2BF=BC+AB-CA;
2CL=2CN=BC+AB-CA.
故BD=CL.
设P是BC的中点，所以BC的中点与LD的中点重合。
作D关于△ABC的内切圆圆心I的对称点D',过D'作△ABC的内切圆的切线，切线C'D'B'分别交AC,AB于C',B'.
则△ABC的内切圆就成为△AB'C'的∠B'AC'所对的旁切圆.
因为A是上述两圆的位似中心，所以L与D'为对应点.
故A,D',L三点共线.
对于△ADL,△ABC的内切圆圆心I[即DD'的中点]必在平行于AL的△ADL的中位线上.
换到话讲,△ABC的内切圆圆心I在AD中点与BC的中点连线上。