己知 在凸六边形ABCDEF中，对角线AD,BE,CF中的每一条都把六边形分成面积相等的两部分.
求证 对角线AD,BE,CF共点。

证明 假设三条对角线不交于一点，而组成一个三角形△XYZ。即AD与BE交于X,CF与AD交于Y,BE与CF交于Z。
据题意有:
S(ABCD)=S(BCDE),故得
S(ABX)=S(XDE).
同理可得:
S(BCZ)+S(EFZ);
S(CDY)=S(AYF).
由面积公式得:
AX*BX=DX*EX;
<==> (AY+XY)*(BZ+ZX)=DX*EX (1)
CY*DY=FY*AY;
<==> (CZ+ZY)*(DX+XY)=FY*AY (2)
EZ*FZ=BZ*CZ;
<==> (EX+XZ)*(FY+YZ)=BZ*CZ (3)
以上三式的两端相乘得:
(AY+XY)*(BZ+ZX)*(CZ+ZY)*(DX+XY)*(EX+XZ)*(FY+YZ)=DX*EX*FY*AY*BZ*CZ. (4)
因为
AY<AY+YX,BZ<BZ+ZX,
CZ<CZ+ZY,DX<DX+XY,
EX<EX+XZ,FY<FY+YZ.
所以等式(4)右端大于左端，与等式(4)有矛盾.
故当X,Y,Z重合时等式成立。原命题得证。