己知 在平行四边形ABCD中，AB^2+AD^2-AB*AD=BD^2，P,Q,R分别是ΔABD，ΔABC，ΔADC的费马点。
求证 PA+PQ+PR=AC.

证明 因为AB^2+AD^2-AB*AD=BD^2，所以由余弦定理得:
∠DAB=60°，故∠ABC=120°。
以BD为边在B点另一侧作正ΔA'BD，再作ΔBDC的外接圆，显然A' 点在ΔBDC的外接圆。根据费马点的性质得:Q与B重合，R与D重合，P是ΔBDC的外接圆与AA’'交点。
设AB=c，AD=b，由余弦定理可求得:
AC=√(b^2+c^2+bc) 。
根据费马点的性质易证得:AA'=PA+PB+PD.
在ΔABA’'中，记BD=a，由余弦定理得:
AA'^2=AB^2+BA'^2-2AB*BA'*cos(∠ABD+60°)
AA'^2=c^2+a^2-2ca*[( c^2+a^2-b^2)/(4ca)-(√3*sin∠ABD)/2]
AA'^2= c^2+a^2-( c^2+a^2-b^2)/2+√3*ca*sin∠ABD
因为 a^2=b^2+c^2-bc，2S=ca*sin∠ABD=√3*bc/2，所以
AA'^2=( c^2+a^2+b^2)/2+3bc/2= b^2+c^2+bc。
因此得: PA+PQ+PR=AC. 证毕。