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问题: 立体几何(高三)

立体几何(高三)
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解答:

(1) ∵ BB1⊥面ABC,BF是B1F在面ABC的射影,而AF⊥BC, 由三垂线逆定理,得AF⊥B1F.设AB=AC=AA1=2,,由勾股定理可得AB1²=8,B1F²=6,
B1E²=9,AE²5,EF²=3. ∵ B1F²+EF²=B1E², ∴ B1F⊥EF,AF∩EF=F,
∴B1F⊥面AEF.
(2) 在△AB1E中由余弦定理得cos∠AB1E=√2/2, ∠AB1E=45°,sin∠AB1E=√2/2. ∵ △ABC是△B1AE的射影图形,△ABC的面积=0.5×2×2=2, ,△B1AE的面积=0.5×2√2×3×sin45°=3. 设二面角B1-AE-F的平面角为θ, 则由面积射影定理得cosθ=△ABC的面积/,△B1AE的面积=2/3, θ=arccos(2/3)