f(x)=lnx-x+a/x
f'(x)=1/x-1-a/x^2=-a(1/x)^2+(1/x)-1
1)若a=0,f'(x)=1/x-1
令f'(x)=0,x=1
当0<x<1,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x>1,f'(x)<0,f(x)单调递减
当x=1,f'(x)=0,f(x)极大值=f(1)=-1
2)若a≠0
令f'(x)=-a(1/x)^2+(1/x)-1=0
△=1-4a
i)当-2<a<0
1/x=[1±√(1-4a)]/(2a)
当[1+√(1-4a)]/(2a)<1/x<[1-√(1-4a)]/(2a),f'(x)<0
x>[1+√(1-4a)]/2或x<[1-√(1-4a)]/2
当1/x<[1+√(1-4a)]/(2a)或1/x>[1-√(1-4a)]/(2a),f'(x)>0
[1-√(1-4a)]/2<x<0,或0<x<[1+√(1-4a)]/2
-2<a<0,1<[1+√(1-4a)]/2<2,-1<[1-√(1-4a)]/2<0
∵x∈[0.5,2]
∴当x<[1+√(1-4a)]/2,f'(x)>0
当x>[1+√(1-4a)]/2,f'(x)<0
当x=[1+√(1-4a)]/2,f'(x)=0
f(x)最大值=ln{[1+√(1-4a)]/2}-√(1-4a)
ii)当0<a<=1/4
当[1-√(1-4a)]/(2a)<1/x<[1+√(1-4a)]/(2a),f'(x)>0
[1-√(1-4a)]/2<x<[1+√(1-4a)]/2
当1/x<[1-√(1-4a)]/(2a)或1/x>[1+√(1-4a)]/(2a),f'(x)<0
x<[1-√(1-4a)]/2,或x>[1+√(1-4a)]/2
0<a<1/4,1/2<[1+√(1-4a)]/2<1,0<[1-√(1-4a)]/2<1/2
∵x∈[0.5,2]
∴当0.5<=x<[1+√(1-4a)]/2,f'(x)>0
当x>[1+√(1-4a)]/2,f'(x)<0
当x=[1+√(1-4a)]/2,f'(x)=0
f(x)最大值=ln{[1+√(1-4a)]/2}-√(1-4a)
iii)当a>1/4
△<0,f'(x)<0,f(x)单调递减
f(x)最大值=f(0.5)=ln0.5-0.5+2a
综上,在区间[0.5,2]上:
当-2<a<=1/4,f(x)最大值=ln{[1+√(1-4a)]/2}-√(1-4a)
当a>1/4,f(x)最大值=ln0.5-0.5+2a
