一.短轴的一个端点与两焦点均成正三角形且焦点到椭圆的最短距离为根号3 求椭圆的方程
二.已知圆（x-1）^2+(y-2)^2=25和直线（2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 m属于R
求 不论m取何实数 直线与圆恒交于两点
求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时的直线方程

一.短轴的一个端点与两焦点均成正三角形且焦点到椭圆的最短距离为根号3 求椭圆的方程
因为短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形，那么：
b=√3c
而，a^2=b^2+c^2=4c^2
所以，a=2c
不妨设椭圆的方程为：x^2/(4k^2)+y^2/(3k^2)=1（k>0）
则：a=2k，b=√3k，c=k
所以，焦点坐标为(-k,0)、(k,0)
令椭圆上有点P(2kcosθ,√3ksinθ)
那么，|PF1|^2=(2kcosθ+k)^2+(√2ksinθ)^2=4k^2cos^θ+k^2+4k^2cosθ+2k^2sin^θ
=2k^2cos^θ+4k^2cosθ+3k^2
=2k^2(cos^θ+2cosθ+1)+k^2
=2k^2(cosθ+1)^2+k^2
所以：|PF1|^2在cosθ=-1时有最小值=k^2
所以：k^2=3
故，椭圆方程为：x^2/12+y^2/9=1

二.已知圆（x-1）^2+(y-2)^2=25和直线（2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 m属于R
求 不论m取何实数 直线与圆恒交于两点
直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
===> 2mx+x+my+y-7m-4=0
===> (2x+y-7)m+(x+y-4)=0
令2x+y-7=0且x+y-4=0
===> x=3，y=1
那么，无论m取何值，直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒经过点P(3,1)
又，(3-1)^2+(1-2)^2=5<25
即，点P在圆(x-1)^2+(y-2)^2=25内
所以：不论m取何实数，直线与圆恒交于两点

求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时的直线方程
当圆心O(1,2)与点P(3,1)的连线OP与直线垂直时，点O到直线的距离最远（画图可以看出，根据直角三角形斜边大于直角边）如图
此时，OA=OB=r=5
OP=√5
由勾股定理有：AP^2=OA^2-OP^2=20
所以，AP=2√5
所以，AB=2AP=4√5
且，Kop=(2-1)/(1-3)=-1/2
所以，Kab=2
故，直线方程为：y-1=2(x-3)
===> 2x-y-5=0