求(cos10°)^2+(cos50°)^2-sin40°*sin80°的值

求(cos10°)^2+(cos50°)^2-sin40°*sin80°的值

解 因为 80°+40°+60°=180°
所以由正弦与余弦定理得:
(cos10°)^2+(cos50°)^2-sin40°*sin80°
=(sin80°)^2+(sin40°)^2-sin40°*sin80°
=(sin60°)^2=3/4.

其实我的证法挺简单，看了大侠与老顽童的评论,再结出一种解法.

简解 在单位圆中,作OP,OQ使它们与X轴的夹角为50°,60°.
再作PA⊥X轴,交X轴于A,作PB⊥OQ,交OQ于B.
令a=OB=cos10°=sin80°;b=OA=cos50°=sin40°.
在三角形AOB中,∠AOB=60°,由余弦定理得:
(cos10°)^2+(cos50°)^2-sin40°*sin80°
=a^2+b^2-ab=AB^2.
因为四边形OAPB内接圆,且OP为直径1,
所以 AB^2=(sin60°)^2=3/4.
因此(cos10°)^2+(cos50°)^2-sin40°*sin80°=3/4.

据(a^3+b^3)/(a+b)=a^2-ab+b^2
(cos10°)^2+(cos50°)^2-sin40°*sin80°
=(sin80°)^2+(sin40°)^2-sin40°*sin80°
=(3sin80-sin240+3sin40-sin120)/[4(sin80+sin40)]
=3(sin80+sin40)/[4(sin80+sin40)]=3/4


大侠与老顽童，第三种证法提问者应该看懂吧！