设△DEF是△ABC的内接正三角形，其中D,E,F分别在△ABC边BC,CA,AB上。
求△ABC中的最小内接正三角形的面积。

设△DEF是△ABC的内接正三角形，其中D,E,F分别在△ABC边BC,CA,AB上。
求△ABC中的最小内接正三角形的面积。

设S'为内接于△ABC的正三角形的面积,BC=a,CA=b,AB=c,△表示△ABC的面积。则有
S'≥[2△^2√3]/[a^2+b^2+c^2+4△√3]
当且仅当内接于△ABC的正三角形为等力点的垂足三角形时取等号.
备注:荷兰O.Bottema等著的《几何不等式》,9.17的取等条件有误.

设S是△ABC平面上一点,满足BC*AS=CA*BS=AB*CS的点,叫做△ABC的等力点.一般三角形都有两个等力点。另一个又称作为反等力点。

等力点有如下优美性质:
△ABC的等力点S的垂足三角形是正三角形，且该正三角形是△ABC的所有内接正三角形中面积最小者。

正等角中心与正等力点互为等角共轭点;负等角中心与反等力点互为等角共轭点。

设S为△ABC的等力点,易求得:
AS=bc√2/√(a^2+b^2+c^2+4△√3);
BS=ca√2/√(a^2+b^2+c^2+4△√3);
CS=ab√2/√(a^2+b^2+c^2+4△√3).
故得:
EF=AS*sinA=abc√2/[2R√(a^2+b^2+c^2+4△√3)];
FD=BS*sinB=abc√2/[2R√(a^2+b^2+c^2+4△√3)];
DE=CS*sinC=abc√2/[2R√(a^2+b^2+c^2+4△√3)];
即EF=FD=DE,故△DEF为正三角形.
由恒等式 abc=4R△,则△DEF为正三角形的面积为
2△^2√3/[a^2+b^2+c^2+4△√3].

关于几何证明 湖北-中学数学,2001与2002杂志上有论文介绍。