这道题想了很久了。。。还是没有想出来。大家帮忙解决一下。。。

证明 设x=1/a,y=1/b,z=1/c,由题设得 x+y+z=1,{0<x,y,z<1}
故所证不等式可化为
∑{1/√(1/y^2+1/z^3)+1/√(1/y^3+1/z^2)}≤1 (1)

(1)化简为
∑{√[y^2*z^3/(y^2+z^3)]+√[y^3*z^2/(y^3+z^2)]}≤1 (2)

对(2)式齐次化处理得
∑{√[y^2*z^3/(y^2*∑x+z^3)]+√[y^3*z^2/(y^3+z^2*∑x)]}≤∑x (3)

记(3)左边为T，由柯西不等式得
T^2≤2∑x*∑{(yz)^2/(y^2*∑x+z^3)+(yz)^2/(y^3+z^2*∑x)} (4)

由(3),(4)得，所以只需证
2∑{(yz)^2/(y^2*∑x+z^3)+(yz)^2/(y^3+z^2*∑x)}≤∑x (5)

注意以下三个局部不等式
(yz)^2/(y^2*∑x+z^3)+(yz)^2/(y^3+z^2*∑x)≤
[x(y^2+z^2)+3yz(y+z)]/[(x+2y+z)*(x+y+2z)] (6-1)

(zx)^2/(x^2*∑x+z^3)+(zx)^2/(x^3+z^2*∑x)≤
[y(x^2+z^2)+3zx(x+z)]/[(x+y+2z)*(2x+y+z)] (6-2)

(xy)^2/(y^2*∑x+x^3)+(xy)^2/(y^3+x^2*∑x)≤
[z(y^2+x^2)+3xy(y+x)]/[(x+2y+z)*(2x+y+z)] (6-3)

(6-1)化简整理为
x^2*(y^7+z^7-2y^5*z^2-2y^2*z^5+y^4*z^3+y^3*z^4)+x[y^8+z^8
+4zy^7z+4yz^7-3y^6*z^2-3y^2*z^6-4y^5*z^3-4y^3*z^5+4(yz)^4]
+yz(3y^7+3z^7+2zy^6+2yz^6-6y^5*z^2-6y^2*z^5+y^4*z^3+y^3*z^4)≥0

<==> x^2*(y^5+z^5+2yz^4+2zy^4+y^3*z^2+y^2*z^3)*(y-z)^2+
x(y^6+z^6+6zy^5+6yz^5+8y^4*z^2+8y^2*z^4+6y^3*z^3)*(y-z)^2
+yz(3y^5+3z^5+8yz^4+8zy^4+7y^3*z^2+7y^2*z^3)*(y-z)^2≥0.
上式显然成立，同理可证另外两式。

因此欲证不等式(5),只需证
2∑[x(y^2+z^2)+3yz(y+z)]/[(x+2y+z)*(x+y+2z)]≤∑x (7)

(7)式等价于[∏循环求积]
2∑[x(y^2+z^2)+3yz(y+z)](2x+y+z)≤∑x*∏(2x+y+z) (8)

(8)式展开化简为
2∑x^4+∑x^3*(y+z)-6∑(yz)^2+2xyz∑x≥0 (9)

不失一般性,设x=min(x,y,z),(9)式分解为
x(2x+3y+2z)*(y-x)*(z-x)+(2y^2+2z^2+5yz+3xy+3xz-3x^2)*(y-z)^2≥0.
上式显然成立.

这个不等式应该有更简的证法。网上有高手的。