怎样用勾股定理证明射影定理

一、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
　　公式 如图，对于Rt△ABC，∠BAC=90度，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
　　1.（AD）^2=BD·DC，
　　2（AB）^2=BD·BC，
　　3（AC）^2=CD·BC 。
　　这主要是由相似三角形来推出的，例如（AD）^2=BD·DC：
　　由图可得 △BAD与△ACD相似，
　　所以 AD/BD＝CD/AD，
　　所以（AD）^2=BD·DC。
　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得
　　（AB）^2+（AC）^2=（BC）^2，这就是勾股定理的结论。
　　二、任意三角形射影定理（又称“第一余弦定理”）：三角形的任一边等于其他两边在该边上的射影之和或之差。即在△ABC中，若AD为BC边上的高时，则BC＝ACcosC±ABcosB 。
　　任意三角形射影定理的三个公式是正确的，因为当∠B是钝角时，cosB的值是负的。也就是说，在△ABC中，无论∠B是锐角或直角还是钝角，边BC都可以用公式BC＝ACcosC+ABcosB表示。



（最好用相似三角形证明）


勾股定理证法如下：
AM平方=AB平方-BM平方
AM平方=AC平方-CM平方
两式相加：
因为AB平方+AC平方=BC平方=（BM+CM)平方
即可证明