已知数列{an}中，a1=t,a2=t^2(t＞0），且a n+1=(t+1)a n-ta n-1(n≥2）。（注：空格后的n+1,n,n-1为脚标）
1.若t≠1，求证：数列{a n+1-a n}是等比数列；
2.求数列｛a n｝的通项公式；
3.若1/2＜t＜2，b n=2a n/(1+an^2)(n∈N*），求证：1/b1+1/b2+1/b3+……+1/bn＜2^n-2^(-n/2)

楼主我在这里用<>表示角标,*表示乘号,容易引起误会的地方尽量都打上括号.
楼主哪里不懂可以消息我哟!

[1]由已知: t≠1,t>0 得 a<n+1>-a<n>≠0
又因为a<n+1>-a<n>=t(a<n>-a<n-1>)且a<2>-a<1>=t(t-1)
可知数列{a<n+1>-a<n>}是以t(t-1)为首项,以t为公比的等比数列.

[2]
(i)当t≠1时
由[1]得:a<n+1>-a<n>=(t-1)*(t^n) 则有:
a<n>-a<n-1>=(t-1)*(t^n).........................{1}
a<n-1>-a<n-2>=(t-1)*[t^(n-1)]................{2}
a<n-2>-a<n-3>=(t-1)*[t^(n-2)]................{3}
...
a<2>-a<1>=(t-1)t.....................................{n-1}
叠加上述n-1个等式得:
a<n>-a<1>=(t-1)[t+t^2+t^3+...+t^(n-1)+t^n]=t^n-t
则:a<n>=t^n (t>0,t≠1,n∈N*)
(ii)当t=1时 由题意易知:a<n>=1 (t=1,n∈N*)
综上所述:数列{a<n>}通项公式为a<n>=t^n (t>0,n∈N*)

[3]由题意可知: 1/b<n> = (1/2)*[t^n+t^(-n)]
令S=1/b<1>+1/b<2>+1/b<3>+……+1/b<n>
则有:
2*S=[t+t^2+t^3+...+t^n]+[(1/t)+(1/t)^2+...+(1/t)^n]
=[t+1/t]+[t^2+(1/t)^2]+...+[t^n+(1/t)^n]
因为1/2<t<2 所以 t^n+(1/t)^n<2^n+(1/2)^n
则2*S<(2+2^2+...+2^n)+[1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^n]
=2^(n+1)-2^(-n)-1
则S<2^n-2^(-n-1)-1/2.........................(*)

...终于打到最后这步了好累噢...下面是倒推,楼主也可以用数学归纳法,都OK的.

因为 2^(n/2) > 1
所以 2^(n/2 -1) > 1/2
所以 1/2+2^(n/2 -1) > 1
所以 2^(-n-1)+1/2 > 2^(-n/2)
所以 -2^(-n-1)-1/2 < -2^(-n/2)
所以 2^n-2^(-n-1)-1/2 < 2^n-2^(-n/2)................(#)
由(*)和(#)可知:S<2^n-2^(-n/2)

证毕