问题: 已知椭圆4X∧2 +Y∧2=1及直线Y=X+M
已知椭圆4X∧2 +Y∧2=1及直线Y=X+M
（1） 当直线与椭圆有公共点时。求实数M的取值范围
（2） 求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程
解答:
(1)
说明方程 4x^2+(x+m)^2=1，
即 5x^2+2mx+m^2-1=0有实数解，
所以 (2m)^2-20(m^2-1)≥0，
化简得 4m^2≤5，
即 -√5/2≤m≤√5/2。
(2)设两个交点的横坐标分别为x(1)和x(2)，根据韦达定理有
x(1)+x(2)=-(2m)/5 和 x(1)x(2)=(m^2-1)/5。
所以 L^2=[|x(2)-x(1)|^2+|y(2)-y(1)|^2]
=2|x(2)-x(1)|^2
=2[|x(1)+x(2)|^2-4x(1)x(2)]
=2[4m^2/25-4(m^2-1)/5]
=8[5-4m^2]/25≤8/5。
当m=0时，L有最大值(2√10)/5，
即被椭圆截得的最长弦所在直线方程为 y=x。
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