问题: 数学
求(1+x)^3+(1+x)^+(1+x)^5+...+(1+x)^20展开式中x^3的系数
解答:
各展开式中x^3的系数之和是
C(3,3)+C(3,4)+C(3,5)+C(3,6)+……C(3,20)
=(1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋4×5×6＋……＋18×19×20）/（1×2×3）。
注意到 k(k+1)(k+2)=k^3+3k^2+2k，
利用三个公式
（一）2(1+2+3+4++20)=2(20×21)/2=420,
（二）3(1^2+2^2+3^2+4^2+……+20^2)=3[20×(20+1)×(2×20+1)]/6=8610,
（三）1^3+2^3+3^3+……+20^3=[20×(20+1)/2]^2=44100,
可得展开式中x^3的系数是（420+8610+44100)/6=8855。
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