有正方形ABCD，O是正方形对角线AC上的中点，P是线段OA上一点，过P作PE垂直CD于E，连接PB线段，过P作PF垂直PB于线段CD相交于F，求线段PA、PC、CE的等量关系。

（一）我想这里F不会是多余的吧？所以我把目标擅自等量关系扩大范围来研究。
（二）研究PA和CE的等量关系还要对P点的位置进行深入的讨论。

如图∠BPF=∠BCF=90°，所以B、P、F、C四点共圆，

所以∠1=∠2=45°，所以△BPF是等腰直角三角形，PB=PE。
这样找到了等量关系：PD=PB=PE，及 DE=EF；

由于△PEC也是等腰直角三角形，所以又找到了等量关系 CE=PE。

在△PAB中，PA<PB；
在△PBC中，PB<PC；
在△PFE中，PE<PF；

现在PA、PB、PC、PD、PE(=CE)、PF中唯一不能比较大小的一组就是PA和PE了。这与PA/OA的比值x有关。

由于 PE=AD-[(√2)/2]PA，而 AD=(√2)OA，

所以PE/PA=AD/PA-[(√2)/2]=(√2)OA/PA-[(√2)/2]
=(√2)/x-[(√2)/2]

解(√2)/x-[(√2)/2]=1；
解(√2)/x-[(√2)/2]<1；
解(√2)/x-[(√2)/2]>1。

得到，最终结论
当 x=2(√2-1) 时，有 PA=PE=CE<PB=PC=PD<PC；
当 0<x<2(√2-1) 时，有 PA<PE=CE<PB=PC=PD<PC；
当 1>x>(√2-1) 时，有 PE=CE<PA<PB=PC=PD<PC；