已经正三角形内切圆的半径是其高的1/3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是什么？
空间正四面体的内切球半径为其高的1/4
证明，如图
P-ABC为正四面体，O为其内切球球心，O'为P在底面ABC的投影（亦即球O与面ABC的切点）
连接AO'，并延长与BC交于点D，连接PD，则D为BC中点
设四面体棱长为a
则，AD=PD=√3a/2
又，由已知结论有：AO'=(2/3)AD=(√3a/2)*(2/3)=(√3a/3)
DO'=(1/3)AD=(√3a/2)*(1/3)=(√3a/6)
那么，在Rt△PO'D中，由勾股定理有：
H=PO'=√[PD^2-O'D^2]=√[(3a^2/4)-(a^2/12)]=(√6a/3)
设球半径为r，则：
OP=OA=PO'-r=H-r
那么，在Rt△AO'O中，由勾股定理又有：
AO^2=OO'^2+AO'^2
即：[(√6a/3)-r]^2=r^2+(√3a/3)^2
解得：r=(√6a/12)
所以：r=H/4
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
