问题: 一道初中几何问题求助证明
已知四边ABCD的对角线AC=BD=k,∠B=90°,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,过边AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H分别作垂线EM,FM,DN,HN.
求证 △BMN的面积.
解答:
已知四边ABCD的对角线AC=BD,∠B=90°,E,G,F,H分别是四边形边AB,BC,CD,DA的中点,作EM⊥AB,FM⊥CD,GN⊥BC,HN⊥DA.
求证 △BMN的面积.
证明 过A点作AK⊥AB,过C点作CK⊥BC,两者交于K,连DK.
设DK的中点为X,连BX,BD,BK.
∵∠B=90°,∴四边形ABCK是矩形,
∴AC=BK.
∵AC=BD,∴BK=BD,即△DBK是等腰三角形,
∴BX⊥DK.即BX是DK是中垂线.
又∵HN是DA的中垂线,GN是AK的中垂线,
∴N是△ADK的外心,即N在BX上.
同样可证,M是△CDK的外心,即M在BX上.
因此B,M,N三点共线，故得△BMN的面积为0.
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