问题: 一个竞赛题研究
设AD,BE,CF是三角形ABC的内角平分线，则有
AB*BC*CA/AD*BE*CF>1
问是否可改进系数1？
解答:
设AD,BE,CF是三角形ABC的内角平分线，则有
AB*BC*CA/AD*BE*CF>1
问是否可改进系数1？
可改进为8√3/9.
简证如下 设BC=a,CA=b,AB=c.p=(a+b+c)/2,S表示面积.
∵AD*BE*CF=8p*S*abc/[(b+c)(c+a)(a+b)]
∴所证不等式等价于
9abc≥64√3*p*S*abc/[(b+c)(c+a)(a+b)]
<==> 9(b+c)(c+a)(a+b)≥64√3*p*S
∵9(b+c)(c+a)(a+b)≥8(a+b+c)*(bc+ca+ab)
∴==> bc+ca+ab≥4√3*S
上式两边平方得
3∑a^4-5∑(bc)^2+2abc∑a≥0
<==> ∑[3(b+c)^2-2a^2](b-c)^2≥0.
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