问题: 八年级奥数题
已知A1+A2+......+A2005=2005,与A21+A22+......+A22005=2005,求证A1=A2=......A2005=1
解答:
此题可以用柯西不等式来证明！
公式是(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
等号成立的条件是 a1/b1=a2/b2=...=an/bn
解:上式令n=2005 b1=b2=...=b2005=1
可得 2005*(a1^2+a2^2+...+a2005^2)>=(a1+a2+...+a2005)^2
即 2005*2005=2005^2 恒成立
所以 a1/1=a2/1=...=a2005/1
所以 a1=a2=...=a2005
所以 2005a1=2005 ==>a1=a2=...=a2005=1
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