应用题:某西部山区某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地投资收益为:每投入x万元，可获得利润P=-1/160(x-40)^2+100万元，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-159/160(60-x)^2+119/2(60-x)万元，问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行

二：判断f(x)=2^-x+2^x在(负无穷，0]上的单调性，并证明.

三：假如有正方体ABCD-A1B1C1D1，直线AC与B1D1的关系是异面还是垂直？

一：解（一楼朋友的解是正确的，我基本复制，稍作完整）
在实施规划前，由于　P1=(-1/160)(x-40)^2+100 （万元），
显然每年只要投入40万，就可获得最大利润100（万元），
那么10年的总利润为W1=100×10=1000（万元）。

实施规划后，前5年中，由题意可知最多能投入30万元，
而P1=(-1/160)(x-40)^2+100在[0,30]上是单调增加的，
所以，每年投入30万元时，有最大利润 P1|max=795/8 （万元）。
前5年的利润和为 W1|=795/8*5=3975/8=496.875(万元)。

设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x）万元于外地区的销售投资。
则每年利润之和为
P2=[(-1/160)(x-40)^2+100]+[(-159/160)x^2+(119/2)x]
=-x^2+60x+90=-(x-30)^2+990。
当x=30时，P2|max=990（万元），所以W2=5*990=4950(万元)
从而10年的总利润为W1+W2=5446.875（万元）。
明显有 5446.875>1000，故该规划方案确有极大的实施价值。


二：解（二楼是从一级定义出发来研究，但是数学问题，全从一级定义出发恐怕会很麻烦，所以我们要记住某些重要的二级结论）
判断f(x)=2^(-x)+2^x在(负无穷，0]上的单调减少，有一个二级结论（即复合函数的单调性）：
若(1)u=g(x)在X上单调增加，U是对应于X的值域；(2)f(u)在U上单调减少。
则f[g(x)]在X上单调减少。
可以直接应用，像这样的二级结论应该记住。

本题中若记u=2^x，h(u)=u^(-1)+u，则f(x)=h[g(x)]。
u=2^x在X=(负无穷，0]上的单调增加，对应的值域是(0,1]；
h(u)=u^(-1)+u在(0,1]上单调减少。
所以f(x)=h[g(x)]在(负无穷，0]上的单调减少。


三：解（二楼关于垂直的理由没有讲清楚）
由于直线BD与B1D1平行，而直线AC与BD垂直，所以直线AC与B1D1垂直；
两条不平行直线AC与B1D1所在的平面ABCD与A1B1C1D1是相互平行的，所以直线AC与B1D1异面。

结论直线AC与B1D1的关系是：既是互相异面也是互相垂直。

最后谈谈第一题的评价，题意不太符合实际，修通公路的目的是，在满足本地需要后，把尽可能多的特产往外运销，可是题意设计《在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-159/160(60-x)^2+119/2(60-x)万元》却是限制了外销量。

另外第三题的题意《直线AC与B1D1的关系是异面还是垂直》是不通的，按常理语法理解“是X还是Y”是一种“比较后的选择”，X和Y是两个对立面，用数学语言是“没有相容性”。但是这里 “异面”和“垂直”不是不相容的，不是互相“排斥”的两个“对立面”。