过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于A,B两点，右焦点为F2（c,0)，则△ABF2得最大面积为

设F1是椭圆的左焦点，由椭圆的对称性得|AF1|=|BF2|,所以△ABF2的面积=△AF1F2的面积.设A（x,y),则向量AF1=(-c-x,-y),向量AF2=(c-x,-y).
AF1*AF2=(-c-x)(c-x)+y^2
=x^2-c^2+y^2
=x^2-c^2+(a^2*b^2-b^2*x^2)/a^2
=(c^2/a^2)x^2+b^2-c^2
△ABF2的面积=△AF1F2的面积=(1/2)|AF1||AF2|cos<AF1,AF2>
=(1/2)AF1*AF2=(1/2)[(c^2/a^2)x^2+b^2-c^2]
所以 (△ABF2的面积)max=(1/2)(b^2-c^2)=(1/2)(2b^2-a^2）