设K,M,N是△ABC边BC,CA,AB上的任意点.
求证 △AMN,△BNK,△CKM中至少有一个的面积不大于△ABC的面积四分之一.

证明 设BK=x,CM=y,AN=z,CK=k,AM=m,BN=n,
则BC=x+k,CA=y+m,AB=z+n.
假设△AMN,△BNK,△CKM的面积均大于△ABC的面积四分之一.
则由三角形的面积公式得:
4S(AMN)>S(ABC),
<==> 4AM*AN*sinA=CA*AB*sinA,即
4zm>(z+n)*(y+m); (1-1)
同样可得出
4xn>((x+k)*(z+n); (1-2)
4yk>(y+m)*(x+k); (1-3)
(1-1)*(1-2)*(1-3)得:
64xyz*kmn>[(x+k)(y+m)(z+n)]^2 (2)
由均值不等式得
(x+k)^2≥4xk, (y+m)^2≥4ym, (z+n)^2≥4zn.
故而得
[(x+k)(y+m)(z+n)]^2≥64xyz*kmn (3)
显见(2)与(3)有矛盾,所以假设不成立.
从而命题正确.证毕。