设a1，b1，c1与a2，b2，c2是两个任意三角形的边长，它们对应的为面积S1，S2，以a1+a2，b1+b2，c1+c2为边长的三角形面积为S。
求证 √S≥√S1+√S2

证明 设p，p1，p2分别表示所对应三角形的半周长，
记a=a1+a2，b=b1+b2，c=c1+c2，
设x=p-a，y=p-b，z=p-c。
x1=p1-a1，y1=p1-b1，z1=p1-c1。
x2=p2-a2，y2=p2-b2，z2=p2-c2。
则由海仑公式得
S=√(pxyz) ，
S1=√(p1*x1*y1*z1) ，
S2=√(p2*x2*y2*z2) 。
p=p1+p2，x=x1+x2，y=y1+y2，z=z1+z2.
据柯西不等式得:
√S1+√S2=(p1*x1*y1*z1)^(1/4)+ (p2*x2*y2*z2)^(1/4)
=<{[√(p1*x1)+√(p2*x2)]* [√(y1*z1)+√(y2*z2)]}^(1/2)
=<[(p1+p2)(x1+x2)(y1+y2)(z1+z2)]^(1/4)=√S.