设a，b都是整数，a²+b²能被3整除，求证：a和b都能被三整除。


设k为奇数，求证：方程x²+2x+2k=0没有有理根。

这两道题目用高中数学推理与证明的方法怎么做？

1.
假设a不能被3整除,a=3m+1或3m+2,m∈Z
1)当a=3m+1
a^2+b^2=9m^2+6m+1+b^2能被3整除,则b^2+1能被3整除
2)当a=3m+2
a^2+b^2=9m^2+12m+3+1+b^2能被3整除,则b^2+1能被3整除
∴b^2+1能被3整除(*)

若b=3n,b^2+1=9n^2+1,被3除余1
若b=3n+1,b^2+1=9n^2+6n+2,被3除余2
若b=3n+2,b^2+1=9n^2+12n+5,被3除余2
∴b^2+1不能被3整除,与(*)矛盾
假设不成立,a^2能被3整除,同理b^2能被3整除
∴a^2,b^2都能被3整除

2.
假设方程x^2+2x+2k=0有有理根,设为p/q,p,q为互质整数
(p/q)^2+2(p/q)+2k=0
p^2+2pq+2kq^2=0
p^2=2(-pq-kq^2),p为偶数

设p=2m
k为基数,设为2n+1,m为整数
则(2m)^2+2(2m)q+2(2n+1)q^2=0
2m^2+2mq+2nq^2+q^2=0
q^2=2(-m^2-mq-nq^2),q为偶数

∴p,q均为偶数与p,q互质矛盾,假设不成立
所以x²+2x+2k=0没有有理根