已知:两个一元二次方程,ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0只有一个公共根.求代数式(a^3+b^3+c^3)/abc的值

因为a≠0 ,所以公共根x≠0
因为ax^2+bx+c=0 , bx^2+cx+a=0 ，所以ax^3 +bx^2 +cx=0 ,bx^2 +cx+a=0
由两方程相减得：a(x-1)(x^2+x+1)=0 ，
因a≠0 ,所以 公共根为x=1或x=ω 或x=ω^2
1.当x=1时,ax^2+bx+c=0的另一根为x=c/a ,bx^2+cx+a=0的另一根为：x=a/b
这两根不等，所以x=1 是两方程的唯一公共根。
当x=1时，a+b+c = 0 ,所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
即a^3+b^3+c^3 -3abc=0 ,a^3+b^3+c^3 =3abc
所以原式 =(a^3+b^3+c^3)/abc = 3abc/abc = 3
2.当x=ω 时，a*ω^2 +bω+c=0 ,因为 a*ω^2 + aω +a=0
所以两式相减得:(b-a)ω+(c-a)=0 ,
即 (b-a)*cos120 +(c-a) +i*(b-a)*sin120=0
根据复数相等得：b=a ,c=a ,不过a=b=c时，原来的两方程不只有一个公共根
不符合题意舍去。
3.当x=ω^2 时，同样分析，不符合题意舍去。
综上：当公共根为X=1 时,原式=3