问题: 高三数学题
已知f(x)=(x^2)+c, 且f(f(x))=f(x^2 +1)
(1)设g(x)=f(f(x)),求g(x)的解析式
(2)设ω(x)=g(x)-λf(x),则是否存在实数λ,使ω(x)在
区间(-∞,-1)上是减函数,且在区间(-1,0)上是增函数?
请写清过程
解答:
f(x)=(x^2)+c, 且f(f(x))=f(x^2 +1), 则: c = 1
(1) g(x)=f(f(x)) = f(x^2 +1) = (x^2 +1)^2 + 1 = x^4 + 2*x^2 + 2
(2)ω(x)=g(x)-λf(x) = x^4 + 2*x^2 + 2 - λ*(x^2 +1)
= x^4 + (2-λ)*x^2 + (2-λ) = (x^2 + 1 - λ/2)^2 + 1 - (λ^2)/4
显然,λ=4时,ω(x) = (x^2 - 1)^2 - 3,
ω(x)在区间(-∞,-1)上是减函数,在区间(-1,0)上是增函数。
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