已知双圆梯形的对角线为√31,面积为4√15，求双圆梯形的外接圆和内切圆的半径.

解 有外接圆的梯形必定是等腰梯形，那么设该梯形ABCD的上底AD长为x,下底BC为长y,腰长AB=CD为z.
则由托勒密定理得
xy+z^2=31 (1)
该等腰梯形有内切圆,根据双圆四边形的面积公式得
xy*z^2=240. (2)
将xy,z^2看作一元两次方程的两根,由韦达定理得
t^2-31t+240=0
<==> (t-15)*(t-16)=0
故 t1=15,t2=16.
因为等腰梯形有内切圆,所以
x+y=2z (3)
故xy=15,z^2=16.即z=4.
所以
xy=15; (4)
x+y=8. (5)
由韦达定理可解得
x=3,y=5.
因为BC=5,CD=4,BD=√31,由余弦定理可得
cosC=(25+16-31)/(2*4*5)=1/4,
∴sinC=√15/4,tan(C/2)=√(3/5).
由正弦定理得[R为外接圆半径]
2R=BD/sinC=4√(31/15),R=2√(31/15)
r=(BC/2)*tan(C/2) [r为内切圆半径]
=(5/2)*√(3/5)=√(15/4).