圆01和圆02外切与点A,BC是圆02与圆01的外公切线，B,C为切点，AT为内公切线，AT与BC相交与点T，延长BA,CA,分别与两圆相交与E,F.
(1)求证AB.AC=AE.AF
(2)AT=2,圆01与圆02的半径比为1：3，求AE?

首先连接 BF 和 CE。

(1)根据切线性质有 TB=TA=TC，
所以 AB⊥AC，
这就说明了 BE⊥CF。

所以 BF 和 CE 分别是两个圆的直径，
根据切线性质有 BF⊥BC 与 CE⊥BC，
所以 BF//CE。

根据平行截线定理或相似三角形对应边成比例原理，有
AC：AF=AE：AB，即 AB*AC=AE*AF。

(2)设小圆半径为 r=x，则大圆半径为 R=3x，
在直角梯形 O1O2BC 中 BC=2AT=4，
(O1O2)^2=BC^2+(O1C-O2B)^2，
即 (4x)^2=4^2+(3x-x)^2，x=2/√3。

CE=6x=4√3，BE=√[(BC)^2+(CE)^2]=8，
AC 是直角三角形 BCE 斜边 BE 上的高，
所以 (EC)^2=EA*EB，即 (4√3)^2=EA*8，
所以 AE=[(4√3)^2]/8=6。

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