BC为圆O的直径,AD垂直于BC,过点B作弦BF交AD于E,交半圆O于点F,弦AC于BF交于点H,AE=BE,证AH*BC=2AB*BE

证明：如图
因为BC是圆O的直径，所以：∠BAC=90°
即，△ABH是以∠BAH为直角的直角三角形
已知，AE=BE，即△EAB为等腰三角形
过点E作AB的垂线，垂足为G
那么，GE//AH，且点G为AB中点
所以，GE为Rt△ABH的中位线。
所以，E为BH中点
所以，BH=2BE…………………………………………（1）
又因为，AE=BE，所以，∠BAE=∠ABE
而，∠BAE(∠BAD)=∠ACB
所以，∠ABE(∠ABH)=∠ACB
所以，Rt△ABH∽Rt△ACB
所以，AB/BC=AH/BH
即，AH*BC=AB*BH
将(1)代入上式，就有：
AH*BC=AB*2BE
获证